初中教师资格面试说课：坐标轴的平移

　　一、教材分析

　　1、坐标变换是化简曲线方程，以便于讨论曲线的性质和画出曲线的一种重要方法。这一节教材主要讲坐标轴的平移，要求学生在正确理解新旧坐标之间的关系的基础上掌握平移公式;并能利用平移公式对新旧坐标系中点的坐标和曲线的方程进行互化。这就是本节课的教学目的之一。

　　2、本教材的重点是平移公式的推导及其简单应用。为了解决重点，教学中先以圆(x-3)2+(y-2)2=52化为x'2+y'2=52这个例子引入来说明，虽然点的位置没有改变曲线的位置、形状和大小没有改变，但是由于坐标系的改变，点的坐标和曲线的方程也随着改变，而且适当地变换坐标系，曲线的方程就可以化简，以此指明平移坐标轴的意义和作用，并由此引出平移的定义，导出平移公式。在推导平移公式时，先从特殊到一般，通过观察、归纳、猜想和推导，得出平移公式，还引导学生运用代数中刚学过的复数的几何意义来证明，既开阔视野，沟通学科知识，又培养学生的思维能力，同时还可通过一组练习，让学生正用、逆用、变用平移公式，达到进一步加深理解、熟练掌握公式的目的，进而培养学生的发现、推理能力和教学思想方法。

　　3、本节教材的难点是平移公式两种形式何时运用，学生易产生混淆，教学中应通过实例让学生自己领会，并及时加以小结，掌握其规律，加强公式的记忆并培养灵活运用知识的能力。

　　4、本节寓德于教的要点，主要是通过事物变化过程的内在联系，认识变与不变的矛盾对立统一规律，对学生进行辩证唯物主义的教育。

　　二、教学过程

　　(一)提出问题

　　教师先在黑板上画出图形，让学生观察、思考并提问以下问题:

　　1、如图，点O'和○O'关于坐标系xoy的坐标和方程各是什么?点O'和○O'关于坐标系x'o'y'的坐标和方程各是什么?两个方程，那一个较为简单?

　　(学生回答，教师在黑板上板书:)

　　直角坐标系 点O'的坐标 ○O'的方程

　　<在xoy中 (3，2); (x-3)2+(y-2)2=52

　　在x'o'y'中 (0，0) x'2+y'2=52

　　两个方程，显然后一个方程简单。

　　(二)引入新课

　　(继续提问)

　　1、从上面的例子可以看出什么?

　　(答) (1)对于同一点或同一曲线，由于 选取的坐标系不同，点的坐标功曲线的方程也不同。

　　(2)把一个坐标系变换为另一个适当的坐标系，可以使曲线的方程简化，便于研究曲线的性质。

　　教师继续提出新的话题，即如何把一个坐标系变换为另一个适当的坐标系呢?我们再从上面的例子来观察坐标系

　　xoy与x'o'y'有何异同点呢?(提问)

　　(答)(1)坐标轴的方向和长度单位都相同--不变

　　(2)坐标系的原点的位置不同--变

　　(教师归纳) 这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。

　　(让学生打开课本阅读移轴的定义，教师在黑板上板书)

　　(板书) 坐标轴的平移

　　(三)讲授新课

　　(板书)1、坐标轴平移的定义

　　2、坐标轴平移公式

　　思路:(1)以特殊到一般，在已画出的图形上任取四个点(分别在第一、二、三、四系限或坐标轴上)让学生分别写出在新、旧坐标系里的坐标，并观察、分析出它们的关系。

　　(答) 坐标平面上任意一点在原坐标系中坐标和在新坐标系中的坐档，归纳出来有如下关系:

　　(板书) 原系横坐标x=新系横坐标 x'+3

　　原系纵坐标y=新系纵坐标y'+2

　　现在把(3，2)推广到一般(h，k)能否得出 x=x'+h

　　y=y'+k

　　这个公式呢?(让学生自己动手证明)

　　思路(2)第一步用有向线段的数量表示x，y，h，k，x'，和y'，

　　第二步据图进行推导

　　第三步由推出的公式 x=x'+h (1)再推出 x'=x-h

　　y=y'+k y'=y-h

　　小结:这两个公式都叫做平移(移轴)公式。同学们还可以运用代数中学过的向量加、减法则，建立复平面来证明(留给学生课后自己作练习)

　　3、平移公式的应用

　　(1)利用平移公式求在新坐标内点的新坐标

　　例与练:①平移坐标轴，把原点平移到O'(-4，3)，求A(0，0)， B(4，-5)的新坐标;C(5，-7) ， D(4，-6)的旧坐标。

　　②平移坐标轴，把原点平移到O'( )使A(2，4)的新坐标为(3，2); B(-4，0)的旧坐标为(0，3)

　　(2)利用平移公式化简方程

　　例与练:(课本例)平移坐轴，把原点移到O'(2，-1)，求下列曲线关于新坐标系的方程，并画出新旧坐标轴和曲线。

　　(x-2)

　　① x=2 ②y=-1 ③ (x+2)2 /9+(y+1)2/4=1

　　分析:解①②时 用分别把x=2，y=-1代入公式

　　(2) 得x'=0 y'=0(比课本中的解法简单)而在解③时，却要用公式(1)分别用x=+2，y=y'-1代入原方程得出新方程x'/9+y'/4=1 (引导学生正确作出图)

　　小结: 从例中可以看出，要把方程(x-2)2/9+ (y+1)2/4

　　化为简单的方程x'2/9+y'2/4 =1 ，可把 x-2=x' y+1=y'，得出应

　　把坐标原点平移到(2，-1)，由此可推广，形如(x-h)2/a2+(y-k)2/b2的方程如何化简。

　　选择题1.坐标轴平移后，下列各数值中发生变化的是( )

　　(A)某两点的距离 (B)某线权中点的坐标

　　(C)某两条直线的夹角 (D)某三角形的面积

　　答案选(C) 从此题可看出，坐标轴平移后，与坐标有关的量发生变化，但图形本身的几何性质不变。

　　选择题2:曲线x2+y2+2x-4y+1=0在新坐标系中的方程是x'2+y'2=4，则新坐标系原点在旧坐标系中的坐标是( )

　　(A) (-1，2) (B) (1，-2) (C)2，-1) (D) (-2，1)

　　分析:把x2+y2+2x-4y+1=0配方为(x+1)2+(y-2)2=4

　　由x+1=x'===h=-1 y-2=y'===k=2 故应选(A)

　　(四)教师小结:今天讲的主要内容是坐标轴平移的意义，平移公式及其简单应用。移轴的目的在几何上是使曲线图形的中心(或顶点)与原点重合，使图形"居中"，而在代数上则是将一般二元二次方程通过代数变形(变量代换)，消去其中的一次项，从而使方程简化，这个问题，下一节课将作更具体深入的研究与探讨。

　　平移公式的两种形式何时应用较好方便，一般说来，由点的旧坐标求其新坐标时用(2)较方便，而由曲线的原方程求其新方程时用(1)较方便，但这也不是固定不变的，如例2中把方程x=2化为新方程，直接代入(2)，马上就可求出x'=0这个新方程。

　　平移坐标轴，可以简化曲线的方程，但不含改变曲线原来的性质与不变，可以看出其中的辩证关系和内在规律。

　　(五)布置作业(略)

　　三、课后附记

　　1、本节课曾在福州市教育学院组织的青年教师培训班的观摩课上讲授，反映较好，从学生的作业反馈及下节课的复习提问，利用坐标轴的平移化简二元二次方程中，引用平移公式进行运算，学生都能较熟练掌握，在半期考中，关于平移公式的应用题得分率在90%以上，说明本节课的效果较好，但因本教材在整个圆锥曲线教材内容中占的分量不重，公式较少使用，容易出现反生与遗忘，因此在平时教学中可适时加以引用。

　　2、本节课的设计遵照"一体三重五环节"的福八中数学教学的特色，重视发挥学生的主体与教师的主导作用，重视"过程"的教学，尽量做到:提出问题，循循诱导;疏通思路，耐心开导;解题练习，精心指导;存在不足，热情辅导;掌握过程，尽心引导;真正体现重情善导的教风与特色。

       本文选自新东方在线论坛。