高中教资数学说课教案：二项式定理

　　一、内容分析说明

　　1、本小节内容是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的二项式的乘方的展开式，与数学的其他部分有密切的联系：

　　(1)二项展开式与多项式乘法有联系，本小节复习可对多项式的变形起到复习深化作用。

　　(2)二项式定理与概率理论中的二项分布有内在联系，利用二项式定理可得到一些组合数的恒等式，因此，本小节复习可加深知识间纵横联系，形成知识网络。

　　(3)二项式定理是解决某些整除性、近似计算等问题的一种方法。

　　2、高考中二项式定理的试题几乎年年有，多数试题的难度与课本习题相当，是容易题和中等难度的

　　试题，考察的题型稳定，通常以选择题或填空题出现，有时也与应用题结合在一起求某些数、式的

　　近似值。

　　二、学校情况与学生分析

　　(1)我校是一所镇普通高中，学生的基础不好，记忆力较差，反应速度慢，普遍感到数学难学。但大部分学生想考大学，主观上有学好数学的愿望。

　　(2)授课班是政治、地理班，学生听课积极性不高，听课率低(60﹪)，注意力不能持久，不能连续从事某项数学活动。课堂上喜欢轻松诙谐的气氛，大部分能机械的模仿，部分学生好记笔记。

　　三、教学目标

　　复习课二项式定理计划安排两个课时，本课是第一课时，主要复习二项展开式和通项。根据历年高考对这部分的考查情况，结合学生的特点，设定如下教学目标：

　　1、知识目标：(1)理解并掌握二项式定理，从项数、指数、系数、通项几个特征熟记它的展开式。

　　(2)会运用展开式的通项公式求展开式的特定项。

　　2、能力目标：(1)教给学生怎样记忆数学公式，如何提高记忆的持久性和准确性，从而优化记忆品质。记忆力是一般数学能力，是其它能力的基础。

　　(2)树立由一般到特殊的解决问题的意识，了解解决问题时运用的数学思想方法。

　　3、情感目标：通过对二项式定理的复习，使学生感觉到能掌握数学的部分内容，树立学好数学的信心。有意识地让学生演练一些历年高考试题，使学生体验到成功，在明年的高考中，他们也能得分。

　　四、教学过程

　　1、知识归纳

　　(1)创设情景：①同学们，还记得吗? 、 、 展开式是什么?

　　②学生一起回忆、老师板书。

　　设计意图：①提出比较容易的问题，吸引学生的注意力，组织教学。

　　②为学生能回忆起二项式定理作铺垫：激活记忆，引起联想。

　　(2)二项式定理：①设问 展开式是什么?待学生思考后，老师板书

　　= C an+C an-1b1+…+C an-rbr+…+C bn(n∈N*)

　　②老师要求学生说出二项展开式的特征并熟记公式：共有 项;各项里a的指数从n起依次减小1，直到0为止;b的指数从0起依次增加1，直到n为止。每一项里a、b的指数和均为n。

　　③巩固练习 填空

　　设计意图：①教给学生记忆的方法，比较分析公式的特点，记规律。

　　②变用公式，熟悉公式。

　　(3) 展开式中各项的系数C , C , C ,… , 称为二项式系数.

　　展开式的通项公式Tr+1=C an-rbr , 其中r= 0,1,2,…n表示展开式中第r+1项.

　　2、例题讲解

　　例1求 的展开式的第4项的二项式系数，并求的第4项的系数。

　　讲解过程

　　设问：这里 ，要求的第4项的有关系数，如何解决?

　　学生思考计算，回答问题;

　　老师指明①当项数是4时， ，此时 ，所以第4项的二项式系数是 ，

　　②第4项的系数与的第4项的二项式系数区别。

　　板书

　　解：展开式的第4项

　　所以第4项的系数为 ，二项式系数为 。

　　选题意图：①利用通项公式求项的系数和二项式系数;②复习指数幂运算。

　　例2 求 的展开式中不含的 项。

　　讲解过程

　　设问：①不含的 项是什么样的项?即这一项具有什么性质?

　　②问题转化为第几项是常数项，谁能看出哪一项是常数项?

　　师生讨论 “看不出哪一项是常数项，怎么办?”

　　共同探讨思路：利用通项公式，列出项数的方程，求出项数。

　　老师总结思路：先设第 项为不含 的项，得 ，利用这一项的指数是零，得到关于 的方程，解出 后，代回通项公式，便可得到常数项。

　　板书

　　解：设展开式的第 项为不含 项，那么

　　令 ，解得 ，所以展开式的第9项是不含的 项。

　　因此 。

　　选题意图：①巩固运用展开式的通项公式求展开式的特定项，形成基本技能。

　　②判断第几项是常数项运用方程的思想;找到这一项的项数后，实现了转化，体现转化的数学思想。

　　例3求 的展开式中， 的系数。

　　解题思路：原式局部展开后，利用加法原理，可得到展开式中的 系数。

　　板书

　　解：由于 ，则 的展开式中 的系数为 的展开式中 的系数之和。

　　而 的展开式含 的项分别是第5项、第4项和第3项，则 的展开式中 的系数分别是： 。

　　所以 的展开式中 的系数为

　　例4 如果在( + )n的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项.

　　解：展开式中前三项的系数分别为1， ， ，

　　由题意得2× =1+ ，得n=8.

　　设第r+1项为有理项，T =C · ·x ，则r是4的倍数，所以r=0，4，8.

　　有理项为T1=x4，T5= x，T9= .

　　3、课堂练习

　　1.(2004年江苏，7)(2x+ )4的展开式中x3的系数是

　　A.6B.12 C.24 D.48

　　解析：(2x+ )4=x2(1+2 )4，在(1+2 )4中，x的系数为C ·22=24.

　　答案：C

　　2.(2004年全国Ⅰ，5)(2x3- )7的展开式中常数项是

　　A.14 B.14 C.42 D.-42

　　解析：设(2x3- )7的展开式中的第r+1项是T =C (2x3) (- )r=C 2 ·

　　(-1)r·x ，

　　当- +3(7-r)=0，即r=6时，它为常数项，∴C (-1)6·21=14.

　　答案：A

　　3.(2004年湖北，文14)已知(x +x )n的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x5的系数是_____________.(以数字作答)

　　解析：∵(x +x )n的展开式中各项系数和为128，

　　∴令x=1，即得所有项系数和为2n=128.

　　∴n=7.设该二项展开式中的r+1项为T =C (x ) ·(x )r=C ·x ，

　　令 =5即r=3时，x5项的系数为C =35.

　　答案：35

　　五、课堂教学设计说明

　　1、这是一堂复习课，通过对例题的研究、讨论，巩固二项式定理通项公式，加深对项的系数、项的二项式系数等有关概念的理解和认识，形成求二项式展开式某些指定项的基本技能，同时，要培养学生的运算能力，逻辑思维能力，强化方程的思想和转化的思想。

　　2、在例题的选配上，我设计了一定梯度。第一层次是给出二项式，求指定的项，即项数已知，只需直接代入通项公式即可(例1);第二层次(例2)则需要自己创造代入的条件，先判断哪一项为所求，即先求项数，利用通项公式中指数的关系求出，此后转化为第一层次的问题。第三层次突出数学思想的渗透，例3需要变形才能求某一项的系数，恒等变形是实现转化的手段。在求每个局部展开式的某项系数时，又有分类讨论思想的指导。而例4的设计是想增加题目的综合性，求的n过程中，运用等差数列、组合数n等知识，求出后，有化归为前面的问题。

     本文选自新东方在线论坛。