高中教资数学说课教案：等差数列

　　一、教材分析

　　1、教材的地位和作用：

　　数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面,数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分;另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。

　　2、教学目标

　　根据教学大纲的要求和学生的实际水平，确定了本次课的教学目标

　　a在知识上：理解并掌握等差数列的概念;了解等差数列的通项公式的推导过程及思想;初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。

　　b在能力上：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力;在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力;通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。

　　c在情感上：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神;养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。

　　3、教学重点和难点

　　根据教学大纲的要求我确定本节课的教学重点为:

　　①等差数列的概念。

　　②等差数列的通项公式的推导过程及应用。

　　由于学生第一次接触不完全归纳法,对此并不熟悉因此用不完全归纳法推导等差数列的同项公式是这节课的一个难点。同时，学生对“数学建模”的思想方法较为陌生，因此用数学思想解决实际问题是本节课的另一个难点。

　　二、学情教法分析：

　　对于三中的高一学生，知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了教强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以我在授课时注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。

　　针对高中生这一思维特点和心理特征，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。

　　三、学法指导：

　　在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。

　　四、教学程序

　　本节课的教学过程由(一)复习引入(二)新课探究(三)应用举例(四)反馈练习(五)归纳小结(六)布置作业，六个教学环节构成。

　　(一)复习引入：

　　1.从函数观点看,数列可看作是定义域为__________对应的一列函数值，从而数列的通项公式也就是相应函数的______。(N﹡;解析式)

　　通过练习1复习上节内容，为本节课用函数思想研究数列问题作准备。

　　2.小明目前会100个单词，他她打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉2个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递减为：100，98，96，94，92 ①

　　3. 小芳只会5个单词，他决定从今天起每天背记10个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递增为5，10，15，20，25 ②

　　通过练习2和3引出两个具体的等差数列，初步认识等差数列的特征，为后面的概念学习建立基础，为学习新知识创设问题情站境，激发学生的求知欲。由学生观察两个数列特点，引出等差数列的概念，对问题的总结又培养学生由具体到抽象、由特殊到一般的认知能力。

　　(二) 新课探究

　　1、由引入自然的给出等差数列的概念：

　　如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列,

　　这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。强调：

　　① “从第二项起”满足条件;

　　②公差d一定是由后项减前项所得;

　　③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(强调“同一个常数” );

　　在理解概念的基础上，由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式：

　　an+1-an=d (n≥1)同时为了配合概念的理解，我找了5组数列，由学生判断是否为等差数列，是等差数列的找出公差。

　　1. 9 ，8，7，6，5，4，……;√ d=-1

　　2. 0.70，0.71，0.72，0.73，0.74……;√ d=0.01

　　3. 0，0，0，0，0，0，…….; √ d=0

　　4. 1，2，3，2，3，4，……;×

　　5. 1，0，1，0，1，……×

　　其中第一个数列公差<0, 第二个数列公差>0,第三个数列公差=0

　　由此强调：公差可以是正数、负数，也可以是0

　　2、第二个重点部分为等差数列的通项公式

　　在归纳等差数列通项公式中，我采用讨论式的教学方法。给出等差数列的首项，公差d，由学生研究分组讨论a4的通项公式。通过总结a4的通项公式由学生猜想a40的通项公式，进而归纳an的通项公式。整个过程由学生完成，通过互相讨论的方式既培养了学生的协作意识又化解了教学难点。

　　若一等差数列{an }的首项是a1,公差是d,则据其定义可得：

　　a2 - a1 =d 即： a2 =a1 +d

　　a3 – a2 =d 即： a3 =a2 +d = a1 +2d

　　a4 – a3 =d 即： a4 =a3 +d = a1 +3d

　　……

　　猜想: a40 = a1 +39d，进而归纳出等差数列的通项公式：

　　an=a1+(n-1)d

　　此时指出：这种求通项公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，为了培养学生严谨的学习态度，在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办法------迭加法：

　　a2 – a1 =d

　　a3 – a2 =d

　　a4 – a3 =d

　　……

　　an – an-1=d

　　将这(n-1)个等式左右两边分别相加,就可以得到 an– a1= (n-1) d即 an= a1+(n-1) d (1)

　　当n=1时，(1)也成立，

　　所以对一切n∈N﹡，上面的公式都成立

　　因此它就是等差数列{an｝的通项公式。

　　在迭加法的证明过程中，我采用启发式教学方法。

　　利用等差数列概念启发学生写出n-1个等式。

　　对照已归纳出的通项公式启发学生想出将n-1个等式相加。证出通项公式。

　　在这里通过该知识点引入迭加法这一数学思想，逐步达到“注重方法，凸现思想” 的教学要求

　　接着举例说明：若一个等差数列{an｝的首项是1，公差是2，得出这个数列的通项公式是：an=1+(n-1)×2 ，

　　即an=2n-1 以此来巩固等差数列通项公式运用

　　同时要求画出该数列图象，由此说明等差数列是关于正整数n一次函数，其图像是均匀排开的无穷多个孤立点。用函数的思想来研究数列，使数列的性质显现得更加清楚。

　　(三)应用举例

　　这一环节是使学生通过例题和练习，增强对通项公式含义的理解以及对通项公式的运用，提高解决实际问题的能力。通过例1和例2向学生表明：要用运动变化的观点看等差数列通项公式中的a1、d、n、an这4个量之间的关系。当其中的部分量已知时，可根据该公式求出另一部分量。

　　例1 (1)求等差数列8，5，2，…的第20项;第30项;第40项

　　(2)-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项?如果是，是第几项?

　　在第一问中我添加了计算第30项和第40项以加强巩固等差数列通项公式;第二问实际上是求正整数解的问题，而关键是求出数列的通项公式an.

　　例2 在等差数列{an｝中，已知a5=10，a12 =31，求首项a1与公差d。

　　在前面例1的基础上将例2当作练习作为对通项公式的巩固

　　例3 是一个实际建模问题

　　建造房屋时要设计楼梯，已知某大楼第2层的楼底离地面的高度为3米，第三层离地面5.8米，若楼梯设计为等高的16级台阶，问每级台阶高为多少米?

　　这道题我采用启发式和讨论式相结合的教学方法。启发学生注意每级台阶“等高”使学生想到每级台阶离地面的高度构成等差数列，引导学生将该实际问题转化为数学模型------等差数列：(学生讨论分析，分别演板，教师评析问题。问题可能出现在：项数学生认为是16项，应明确a1为第2层的楼底离地面的高度，a2表示第一级台阶离地面的高度而第16级台阶离地面高度为a17，可用课件展示实际楼梯图以化解难点)。

　　设置此题的目的：1.加强同学们对应用题的综合分析能力，2.通过数学实际问题引出等差数列问题，激发了学生的兴趣;3.再者通过数学实例展示了“从实际问题出发经抽象概括建立数学模型，最后还原说明实际问题的“数学建模”的数学思想方法

　　(四)反馈练习

　　1、小节后的练习中的第1题和第2题(要求学生在规定时间内完成)。目的：使学生熟悉通项公式，对学生进行基本技能训练。

　　2、书上例3)梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列。计算中间各级的宽度。

　　目的：对学生加强建模思想训练。

　　3、若数例{an} 是等差数列,若 bn = k an ，(k为常数)试证明：数列{bn}是等差数列

　　此题是对学生进行数列问题提高训练，学习如何用定义证明数列问题同时强化了等差数列的概念。

　　(五)归纳小结(由学生总结这节课的收获)

　　1.等差数列的概念及数学表达式.

　　强调关键字：从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数

　　2.等差数列的通项公式 an= a1+(n-1) d会知三求一

　　3.用“数学建模”思想方法解决实际问题

　　(六)布置作业

　　必做题：课本P114 习题3.2第2，6 题

　　选做题：已知等差数列{an}的首项a1=-24，从第10项开始为正数，求公差d的取值范围。

　　(目的：通过分层作业，提高同学们的求知欲和满足不同层次的学生需求)

　　五、板书设计

　　在板书中突出本节重点，将强调的地方如定义中，“从第二项起”及“同一常数”等几个字用红色粉笔标注，同时给学生留有作题的地方，整个板书充分体现了精讲多练的教学方法。

     本文选自新东方在线论坛。