教资高中数学说课教案：分类计数与分步计数原理

　　一、本节内容的地位与重要性

　　“分类计数原理与分步计数原理”是《高中数学》一节独特内容。这一节课与排列、组合的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解分类计数原理与分步计数原理，还为日后排列、组合和二项式定理的教学做好准备,起到奠基的重要作用。

　　二、关于教学目标的确定

　　根据两个基本原理的地位和作用，我认为本节课的教学目标是：

　　(1)使学生正确理解两个基本原理的概念;

　　(2)使学生能够正确运用两个基本原理分析、解决一些简单问题;

　　(3)提高分析、解决问题的能力

　　(4)使学生树立“由个别到一般，由一般到个别”的认识事物的辩证唯物主义哲学思想观点。

　　三、关于教学重点、难点的选择和处理

　　中学数学课程中引进的关于排列、组合的计算公式都是以两个计数原理为基础的，而一些较复杂的排列、组合应用题的求解，更是离不开两个基本原理，所以正确理解两个基本原理并能解决实际问题是学习本章的重点内容。

　　正确使用两个基本原理的前提是要学生清楚两个基本原理使用的条件.而原理中提到的分步和分类，学生不是一下子就能理解深刻的，面对复杂的事物和现象学生对分类和分步的选择容易产生错误的认识，所以分类计数原理和分步计数原理的准确应用是本节课的教学难点。必需使学生认清两个基本原理的实质就是完成一件事需要分类还是分步，才能使学生接受概念并对如何运用这两个基本原理有正确清楚的认识。教学中两个基本问题的引用及引伸，就是为突破难点做准备。

　　四、关于教学方法和教学手段的选用

　　根据本节课的内容及学生的实际水平，我采取启发引导式教学方法并充分发挥电脑多媒体的辅助教学作用。

　　启发引导式作为一种启发式教学方法，体现了认知心理学的基本理论。符合教学论中的自觉性和积极性、巩固性、可接受性、教学与发展相结合、教师的主导作用与学生的主体地位相统一等原则，教学过程中，教师采用点拨的方法，启发学生通过主动思考、动手操作来达到对知识的“发现”和接受，进而完成知识的内化，使书本的知识成为自己的知识。

　　电脑多媒体以声音、动画、影像等多种形式强化对学生感观的刺激，这一点是粉笔和黑板所不能比拟的，采取这种形式，可以极大提高学生的学习兴趣，加大一堂课的信息容量，使教学目标更完美地体现。另外，电脑软件具有良好的交互性，可以将教师的思路和策略以软件的形式来体现，更好地为教学服务。

　　五、关于学法的指导

　　“授人以鱼，不如授人以渔”，在教学过程中，不但要传授学生课本知识，还要培养学生主动观察、主动思考、自我发现的学习能力，增强学生的综合素质，从而达到教学的目标。教学中，教师创设疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发点拨，类比推理，在积极的双边活动中，学生找到了解决疑难的方法。整个过程贯穿“设疑”——“思索”——“发现”——“解惑”四个环节，学生随时对所学知识产生有意注意，思想上经历了从肯定到否定、又从否定到肯定的辨证思维过程，符合学生认知水平，培养了学习能力。

　　六、关于教学程序的设计

　　(一)课题导入

　　这是本章的第一节课，是起始课，讲起始课时，把这一学科的内容作一个大概的介绍，能使学生从一开始就对将要学习的知识有一个初步的了解，并为下面的学习打下思想基础。所以，首先阅读引言，明确任务，激发兴趣。由学生感兴趣的乒乓球比赛提出问题，引出学习本节的必要性，明确研究计数方法是本章内容的独特性，从应用的广泛看学习本章内容的重要性。同时板书课题(分类计数原理与分步计数原理)

　　这样做，能使学生明白本节内容的地位和作用，激发其学习新知识的欲望，为顺利完成教学任务做好思维上的准备。

　　(二)新课讲授

　　通过幻灯片给出问题，配图分析，讲清坐火车与坐汽车两类方法均可，每类中任一种办法都可以独立地把从甲地到乙地这件事办好。

　　紧跟着给出：

　　引伸1：若甲地到乙地一天中还有4班轮船可乘,那么一天中,坐这些交通工具从甲地到一点共有多少种不同的走法?

　　引伸2:若完成一件事,有 类办法.在第1类办法中有 种不同方法,在第2类办法中有 种不同的方法,……,在第 类办法中有 种不同方法,每一类中的每一种方法均可完成这件事,那么完成这件事共有多少种不同方法?

　　这个问题的两个引申由渐入深、循序渐进为学生接受分类计数原理做好了准备。

　　板书分类计数原理内容：

　　完成一件事,有 类办法.在第1类办法中有 种不同方法,在第2类办法中有 种不同的方法,……,在第 类办法中有 种不同方法,那么完成这件事共有 种不同的方法.(也称加法原理)

　　此时，趁学生对于原理有了一个较清晰的认识，引导学生分析分类计数原理内容，启发总结得下面三点注意：(出示幻灯片)

　　(1)各分类之间相互独立，都能完成这件事;

　　(2)根据问题的特点在确定的分类标准下进行分类;

　　(3)完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的方法。

　　这样做加深学生对分类计数原理的正确理解，突出了重点，突破了难点。

　　接下来给出问题2：(出示幻灯片)

　　由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条(见图9-1)，从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?

　　提出问题：问题1与问题2同是研究从甲地到乙地的不同走法，请找出这两个问题的不之处?学生会发现问题1中采用乘火车或乘汽车都可以从甲地到乙地，而问题2中必須经过先乘火车后乘汽车两个步骤才能完成从甲地到乙地这件事。

　　问题2的讲授采用给出问题，配图分析，组织讨论，强调分步。用多媒体配不同的颜色闪现出六种不同的走法，让学生列式求出不同走法数，并列举所有走法。

　　归纳得出：分步计数原理(板书原理内容)

　　分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法.那么，完成这件事共有

　　N=m1×m2×…×mn

　　种不同的方法.

　　同样趁学生对定理有一定的认识，引导学生分析分步计数原理内容，启发总结得下面三点注意：(出示幻灯片)

　　(1)各步骤相互依存，只有各个步骤完成了，这件事才算完成;

　　(2)根据问题的特点在确定的分步标准下分步;

　　(3)分步时要注意满足完成一件事必须并且只需连续完成这N个步骤这件事才算完成。

　　(三)应用举例

　　教材例1：(书架取书问题)引导学生分析解答,注意区分是分类还是分步。

　　例2：由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位整数(各位上的数字允许重复)?本题设置了4个问题：

　　(1)每一个三位数是由什么构成的?(三个整数字)

　　(2)023是一个三位数吗?(百位上不能是0)

　　(3)组成一个三位数需要怎么做?(分成三个步骤来完成：第一步确定百位上的数字;第二步确定十位上的数字;第三步确定个位上的数字)

　　(4)怎样表述?

　　教师巡视指导、并归纳

　　解：要组成一个三位数，需要分成三个步骤：第一步确定百位上的数字，从1～4这4个数字中任选一个数字，有4种选法;第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，共有5种选法;第三步确定个位上的数字，仍有5种选法.根据分步计数原理，得到可以组成的三位整数的个数是N=4×5×5=100.

　　答：可以组成100个三位整数.

　　(教师的连续发问、启发、引导，帮助学生找到正确的解题思路和计算方法，使学生的分析问题能力有所提高.

　　教师在第二个例题中给出板书示范，能帮助学生进一步加深对两个基本原理实质的理解，周密的考虑，准确的表达、规范的书写，对于学生周密思考、准确表达、规范书写良好习惯的形成有着积极的促进作用，也可以为学生后面应用两个基本原理解排列、组合综合题打下基础)

　　(四)归纳小结

　　师：什么时候用分类计数原理、什么时候用分步计数原理呢?

　　生：分类时用分类计数原理，分步时用分步计数原理.

　　师：应用两个基本原理时需要注意什么呢?

　　生：分类时要求各类办法彼此之间相互排斥;分步时要求各步是相互独立的.

　　(五)课堂练习

　　P222：练习1～4.学生板演第4题

　　(对于题4，教师有必要对三个多项式乘积展开后各项的构成给以提示)

　　(六)布置作业

　　P222：练习5，6，7.

　　补充题：

　　1.在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有多少个?

　　(提示：按十位上数字的大小可以分为9类，共有9+8+7+…+2+1=45个个位数字小于十位数字的两位数)

　　2.某学生填报高考志愿，有m个不同的志愿可供选择，若只能按第一、二、三志愿依次填写3个不同的志愿，求该生填写志愿的方式的种数.

　　(提示：需要按三个志愿分成三步.共有m(m-1)(m-2)种填写方式)

　　3.在所有的三位数中，有且只有两个数字相同的三位数共有多少个?

　　(提示：可以用下面方法来求解：(1)△△□，(2)△□△，(3)□△□，(1)，(2)，(3)类中每类都是9×9种，共有9×9+9×9+9×9=3×9×9=243个只有两个数字相同的三位数)

　　4.某小组有10人，每人至少会英语和日语中的一门，其中8人会英语，5人会日语，(1)从中任选一个会外语的人，有多少种选法?(2)从中选出会英语与会日语的各1人，有多少种不同的选法?

　　(提示：由于8+5=13>10，所以10人中必有3人既会英语又会日语.(1)N=5+2+3;(2)N=5×2+5×3+2×3)

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