《角平分线性质》教学设计

　　《角平分线性质》教学设计

　　一、教学目标

　　【知识与技能】

　　进一步了解角平分线的性质和判定，能够证明角平分线的性质和判定定理并且会运用角平分线性质去解决问题。

　　【过程与方法】

　　通过对“角平分线性质”的探究，提高分析问题、解决问题的能力。

　　【情感态度与价值观】

　　通过一系列的证明过程，体验数学活动充满着探索性和创造性，增强学习数学的兴趣和勇于创新的精神。

　　二、教学重难点

　　【重点】

　　证明角平分线的性质和判定。

　　【难点】

　　灵活运用角平分线性质解决问题。

　　三、教学过程

　　(一)设置情境问题，搭建探究平台

　　问题l:习题1.8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?能证明自己发现的结论一定正确吗?

　　于是，首先证明“三角形的三个内角的角平分线交于一点” .

　　当然学生可能会提到折纸证明、软件演示等方式证明，但最终，教师要引导学生进行逻辑上的证明。

　　(二)展示思维过程，构建探究平台

　　已知：如图，设△ABC的角平分线.BM、CN相交于点P，

　　证明：P点在∠BAC的角平分线上.

　　　证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足.

　　∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，

　　∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).

　　同理：PE=PF.

　　∴PD=PF.

　　∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上).

　　∴△ABC的三条角平分线相交于点P.

　　在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢?

　　(PD=PE=PF，即这个交点到三角形三边的距离相等.)

　　于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.

　　下面我通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理

　　　问题2

　　如图：直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处?你如何发现的?

　　　要求学生思考、交流。实况如下：

　　[生]有一处.在三条公路的交点A、B、C组成的△ABC三条角平分线的交点处.因为三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三边的距离相等.而现在要建的货物中转站要求它到三条公路的距离相等.这一点刚好符合.

　　[生]我找到四处.(同学们很吃惊)除了刚才同学找到的三角形ABC内部的一点外，我认为在三角形外部还有三点.作∠ACB、∠ABC外角的平分线交于点P1(如下图所示)，我们利用角平分线的性质定理和判定定理，可知点P1在∠CAB的角平分线上，且到l1、l2、l3的距离相等.同理还有∠BAC、∠BCA的外角的角平分线的交点P3;因此满足条件共4个，分别是P、P1、P2、P3

　　教师讲评。

　　(三)例题讲解

　　[例1]如图，在△ABC中.AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.

　　(1)已知CD=4 cm，求AC的长;

　　(2)求证：AB=AC+CD.

　　分析：本例需要运用前面所学的多个定理，而且将计算和证明融合在一起，目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法，并能综合运用它们解决问题.第(1)问中，求AC的长，需求出BC的长，而BC=CD+DB，CD=4 cIn，而BD在等腰直角三角形DBE中，根据角平分线的性质，DE=CD=4cm，再根据勾股定理便可求出DB的长.第(2)问中，求证AB=AC+CD.这是我们第一次遇到这种形式的证明，利用转化的思想AB=AE+BE，所以需证AC=AE，CD=BE.

　　(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，

　　∠C=90°，DE⊥AB.

　　∴DE=CD=4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等).

　　∵∠AC=∠BC ∴∠B=∠BAC(等边对等角).

　　∵∠C=90°，

　　∴∠B=1/2×90°=45°.

　　∴∠BDE=90°—45°=45°.

　　∴BE=DE(等角对等边).

　　在等腰直角三角形BDE中

　　BD=2DE2.=4 2 cm(勾股定理)，

　　∴AC=BC=CD+BD=(4+42)cm.

　　(2)证明：由(1)的求解过程可知，

　　Rt△ACD≌Rt△AED(HL定理)

　　∴AC=AE.

　　∵BE=DE=CD，

　　∴AB=AE+BE=AC+CD.

　　[例2]已知：如图，P是么AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D.

　　求证：(1)OC=OD;

　　(2)OP是CD的垂直平分线.

　　　证明：(1)P是∠AOB角平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，

　　∴PC=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等).

　　在Rt△OPC和Rt△OPD中，

　　OP=OP，PC=PD，

　　∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL定理).

　　∴OC=OD(全等三角形对应边相等).

　　(2)又OP是∠AOB的角平分线，

　　∴OP是CD的垂直平分线(等腰三角形“三线合一”定理).

　　思考：图中还有哪些相等的线段和角呢?

　　(四)课时小结

　　本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等.并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题.

　　(五)课后作业

　　习题1.9第1、2题

　　四、板书设计

　　角平分线性质

　　定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。

　　定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

　　五、教学反思

本文选自新东方在线论坛。